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分類：《高中數學珍寶》
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發佈於：03 三月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
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尋找「直角三角形」﹑「多點共圓」（四點以上）或「相似三角形」是歐基里德《幾何原本》前六卷的重點，也是利用所謂的「綜合法」來計算或推理演繹平面幾何問題所必學的手段。有了直角三角形，馬上可以使用「邊長之間」的等式關係（畢氏定理）；多點共圓可以作「角度」的轉換（等弧對等圓周角）；而相似三角形就會有「邊長」成比例與「角度」相等的好處。所以「綜合法」可以說是利用「直角三角形」或「相似三角形」來作「邊長」的計算；運用「多點共圓」或「相似三角形」來作「角度」變換的一種方法。 |
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分類：《高中數學珍寶》
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發佈於：03 三月 2014
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點擊數：879
作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
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針對二次函數
而言。從方程式f(x)=0的角度來說，婆羅摩笈多求出它的根的漂亮『代數』公式：
從函數y=f(x)的幾何圖形之觀點來看，伽利略的『自由落體』實驗實證了「凡是向空中拋一石頭，它的軌跡都可由這樣的函數來刻畫」，用拋物線一詞來描繪它的圖形再恰當不過了。 |
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分類：《高中數學珍寶》
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發佈於：03 三月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
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12.1 尺規作圖的意義與定義 『尺規作圖』，顧名思義，就是利用直尺與圓規，在有限步驟內作圖。尺規作圖包括作出數線上的點（或線段長）、平面上的點（或座標）、直線、夾角、圓或其它圖形。 像這樣，找點、畫線、求角、作圓的尺規作圖問題，首先需對可以使用的工具「直尺」與「圓規」作精準的規範與要求：即直尺上僅刻有單位長度的刻度，而且直尺與圓規的功能僅為 |
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分類：《高中數學珍寶》
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發佈於：03 三月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
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統計談的就是如何蒐集、整理、分析和呈現數據……讓數字說話。統計是從數據中找出訊息，並且做成結論，而統計使用的工具是圖表和計算，並加上常識判斷。美國統計學會與美國數學學會的聯合課程委員會就建議，入門的統計課程都應該「強調如何作統計思考」，而且內容應該「多一些數據和觀念，少一點公式和推導過程。」統計可分成敘述統計與統計推論這兩大類。 |
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分類：《與奇人相遇的故事》
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發佈於：28 十月 2013
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點擊數：921
作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
與奇人相遇的故事發生在它該發生的時候：你無法安排它，你無法使它發生。它是經由你的時時注意，耐心等待下，在一個不可預料的時､地忽然發生的；它不可能是在透過刻意培養或者經由頭腦強烈期待下誕生。
與奇人相遇會讓你有如拈花微笑的迦葉一樣，瞬間開悟，找到那問題的最後一塊拼圖；與奇人相遇也會讓你看到現代阿基米得，光溜溜的跳出浴缸大喊「我發現了」的神情。奇人就是隨身帶著火把，如影隨形，走到哪，亮到哪，摸索開關對他來說是多餘的。《與奇人相遇》是在描述或追憶過去十年來，在我的教學或演講現場，與我有過深深互動的幾位老師或同學。由於當時他對討論問題的瞥見，讓我得到了那個問題的最後一塊拼圖或者讓我看到一位現代阿基米得，光溜溜的跳出浴缸大喊「我發現了」的神情。我把這與他交流的時刻稱做“與奇人相遇”，因為在這個特殊的問題與特殊的時間點上，他的確像是一位奇人，他有很出神入化的看法跟解讀。為了不讓這些瞥見消失，每次我都會在事後細心的回顧與整理當時的數學資料，讓我對這個數學問題的瞭解更上層樓。所以這些“奇人”是讓我數學進入另一個高度的最後一塊拼圖。每當我在中學演講，講到那個數學問題，我都會想到他們那不可思議的瞥見，也會儘所有可能，將他們的瞥見傳遞給在場聆聽的每個人。
我之所以稱他們為奇人，就是因為在那些問題上，他們的表現與凡人大相逕庭。所謂凡人就是當他處在一間黑暗的房間時，他只能借助摸索，推理或想像去尋找燈的開關位置；而奇人就是隨身帶著火把，走到哪，亮到哪，摸索開關對他來說是多餘的。凡人總是喜歡隨身攜帶一長串的鑰匙，逐一嘗試哪把才能打開門鎖；而奇人就是隨身帶把萬能鑰匙而已，每個門鎖都難不倒他。
有一天早晨，在系辦看到剛到學校的王老師從前､後口袋掏出三大串鑰匙，少說也有二十幾把以上。我問他：「需要帶這麼多鑰匙嗎？」他回答說：「家裡，車子及辦公室的，共三串。」當你在路上撿到一把鑰匙時，不會覺得它很重要，甚至不想檢它，因為你不知道什麼時候，在哪裡用它，你把它當成塑膠與金屬的混和物而已，但是對遺失鑰匙的人來說，它可是至關重要的，因為他知道何時，何地及如何使用它，沒有它就進不了門。我在想「如果王老師能夠練成像神偷那麼靈巧的雙手，那麼只需隨身攜帶一支小鐵絲就夠了。」學校或補習班老師常常在幫你打鑰匙，你滿腦子攜帶了他們給你的鑰匙。很沈重的鑰匙，你又很緊張，深怕掉了任何一把鑰匙，做不了題目，考試失算。聰明一點的老師或學生自己，可以將這些鑰匙整合成一把，就像神偷所擁有的小鐵絲那一把一樣，這樣頭腦不僅放鬆，走起路來也輕盈，考起試來也有信心，但是唯一的缺點就是「神偷」兩個負面的字。奇人就是連神偷的那把小鐵絲也不需要攜帶的人，它是徹底的放鬆，真正的輕盈。帶著神偷的小鐵絲是假的放鬆，是贗品，是放鬆的冒牌貨。
頭腦是一個奇怪的設計，存在頭腦裡面的總是不完美，不美麗，不完全或不完整的知識。每當老師教授的數學深層意義還沒被你瞭解時，這些數學知識就會一直寄放在頭腦，讓頭腦感受到緊張與沈重的壓力。所以當數學深層的意義不被瞭解時，你就無法達到頭腦的平靜。
欲讓頭腦達到平靜，不被寄放的數學知識所困擾的方式有兩種：一種是放鬆…達到可以讓頭腦放鬆的接受數學知識的境界；另一種是放棄…假的放鬆，它是放鬆的贗品，替代物，或冒牌貨，他會讓你離放鬆更遙遠。奇人就是懂得放鬆的登山高手，他攜帶著沈重的裝備，在攻頂的路途中，逐漸的卸下這些壓力與重擔，只有放鬆與輕盈的狀態才容易登峰造極，奇人更懂得如何在沒有裝備的情形下，可以像有裝備般的安然下山，化阻力為助力，這就是放鬆的最高境界，也是奇人的本色。
許志農 敬上
2013年十月
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