在你了解它之前,它是魔術;了解它之後,它就是數學了

作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農

納許(John Nash)是一位不折不扣的數學家,他在就讀普林斯頓研究所時,發明了「納許棋」,曾流行了一段時間,正值人生璀璨的三十歲之時,納許陷入失心與幻想,在1960至1990這漫長的三十年間,納許鬼魅似的出現在普林斯頓校園,又於1990年傳奇的甦醒,並旋於1994年獲頒諾貝爾經濟學獎。國內影音出租店就可以租到的片子《美麗境界》就是在描述納許傳奇性的一生,有一幕是納許拿著紅色簽字筆在透明玻璃上畫正六邊形的情景,應該是在敘說他發明過「納許棋」這道遊戲吧!

1942年,丹麥哥本哈根大學數學系教授海恩(Piet Hein)在上課的講義裡介紹過納許棋,而當地報紙也在同年的12月26日刊載了這道遊戲的玩法,而且這道遊戲在丹麥很受歡迎。至於納許重新發明這道遊戲的時間點則在1949年就讀普林斯頓高等數學研究所的時候。馬丁‧加德納是美國有名的業餘數學大師,從1956到1986這三十年間,在《科學人》雜誌上開設一個數學遊戲專欄,在1957年的專欄中提到「海恩是納許棋的第一位發明者,不過納許的重新發現及對納許棋的理論有相當重要的貢獻。」將納許棋與五子棋、象棋、圍棋及西洋棋相比,他們的共同點都是兩個人玩的遊戲,而不同的地方在棋盤的形狀,納許棋盤是由正六邊形的格子所構成。我認識納許是從他的納許棋盤開始的,棋盤的樣子如下(這是6階的棋盤,共由 塊正六邊形土地密鋪而成):

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知己知彼,百戰不殆;不知彼而知己,一勝一負;不知彼,不知己,每戰必殆。

作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農

從人類學會溝通後,便不斷尋找更為巧妙複雜的方式來隱藏訊息,以防敵人識破。例如:古代中國會用明礬水寫保密書信;義大利人則發現用明礬調配出來的墨水,可以滲透蛋殼,在裡面的熟蛋白留下痕跡,但是從蛋殼外表卻看不出來;甚至遠在波斯王朝時,剃光信差的頭髮,將訊息刺在信差的光頭上,等頭髮長出來了,就派他去傳遞秘密訊息。事實上,語言與文字就是最早的秘語與暗碼,使用不同語言或文字的兩個人是很難溝通的,除非比手劃腳。在比賽場上,特別是雙打,要溝通時,經常發現隊友會用手遮住嘴巴講話,用意是怕被對方識破,但若知道對手不懂我隊的語言,遮住嘴巴的動作就可以免了。上述這些隱匿法都是古代傳遞秘密訊息的方法,算是密碼學的早期雛形,而密碼學的歷史就是幾世紀以來編碼者與解碼者之間的戰爭史。

古代也會在文字上做文章,大搞隱藏訊息手法,例如破譯「青鵝」兩字的故事是說「唐朝時,武則天稱帝,地方官員徐敬業準備起兵造反,中書令裴炎給徐敬業等人寫了一封書信,只有『青鵝』兩個字,被人告發了,朝中大臣誰都不知道這是什麼意思。武則天說:『青』字可以拆成『十二月』,『鵝』字可以拆成『我自與』,這說的是『十二月我自與』。馬上殺掉了裴炎,徐敬業等人的造反也很快失敗了」。凱撒在高盧戰爭期間使用凱撒移位法與將領們通訊,他們的作法是把每個字母順移同樣的數目,例如:順移的數目為3, a 就變成d ,b就變成e 。有時候還採取比較複雜的調換字母順序來作為隱藏訊息的方法。當我們無法得知這調換順序時,就很難破解密碼。因此在一段很長的時期內,這種隱藏訊息的方法是很管用的,直到伊斯蘭先知穆罕默德的可蘭經出現,解密的工作才出現大幅度的進步。事情是這樣的,伊斯蘭神學家仔細計算可蘭經各個單字在每一篇啟示出現的頻率,發現這頻率有很高的穩定性。這項看似無關緊要的觀察結果,日後卻造成了密碼分析學的第一次大突破。

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