作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

在這節裡，我們將使用“出人意表”或“不可思議”的方法來探討兩則與矩形有關的問題。

 

12.1 矩形的長、寬和問題

定理12.1  如果一個矩形(長×寬=l₂×w₂ )可以擺放在另一個矩形(l₁×w₁)內(如下圖)，則不等式

l₂+w₂≦l₁+w₁

 

必須成立。

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

13.1 一則分數問題

我們對圓周率π=3.141592653及自然指數e=2.718281828這兩個常數很熟悉。

除此之外，還有一個很有名的尤拉常數γ是由極限定義來的：

 

如果將分數和

 

通分，化簡成最簡分數（設此最簡分數為）。我們所碰到的麻煩是a_n很大。不僅會讓你算到手軟，即使是利用電腦，也很容易超過電腦的負荷，使電腦當機。

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

歷史學家無意中發現一則一千多年前發生的慘劇。那時一位大富翁擁有一座圓形的金銀島，他的墳墓就在這座金銀島的海邊被發現。從這墳墓出土的札記中，記載著這樣的故事：富翁將他所有的金銀財寶平均的藏在該島的某兩處海邊。富翁卻欺騙他的兩個孩子說：所有金銀財寶藏被三等分之後，藏在該島的三處海邊。這三處海邊的詳細地點只有富翁及他的兩個孩子才知道。

在夜黑風高的某一晚上，富翁的兩個孩子，同一時間分別從富翁真正藏寶的兩處海邊直奔富翁所謊稱的第三處海邊。富翁的大兒子先抵達第三處海邊，沒發現金銀財寶之後，馬上直奔另一處海邊。不幸的事情發生了，當兩個孩子在半路上相遇時，由於互相猜忌對方拿了第三處海邊的金銀財寶，導致互相殘殺。最後兩個孩子都死在遭遇的地方，富翁就將他們合葬在互相殘殺的地方。過了不久之後，富翁也因此鬱鬱而終，富翁死亡前說的最後一句話是“我兩個孩子的腳程一樣快，我的墳墓會距離真正藏金銀財寶的兩處海邊一樣遠”。

一千多年後的今天，我們只發現富翁及他兒子的墳墓所在地，你能根據這記錄找回富翁的金銀財寶嗎？

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

我們都知道：單位圓（半徑為1 單位的圓）的周長恰為2π。在此單位圓上取三點A,B,C，如果三角形ABC是一個正三角形，則邊長

 

一則有趣的機率問題是這樣問的：在單位圓上任意畫一條弦，則此弦的長度超過的機率是多大？底下給出幾種不同的解法版本，由讀者來判斷何者才是正確的。