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分類:那永無止境的鑲嵌世界
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發佈於:05 十二月 2014
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點擊數:2592
文/安蓉(藝術相關工作者)、許志農(國立臺灣師範大學數學系教授)
無法被歸類的藝術家
摩利茲.柯尼利斯.艾雪(Maurist Cornelis Escher, 1898-1972)這位二十世紀的荷蘭平面版畫大師,終其一生製作了448幅版畫作品,以及超過2000幅的草圖,豐富的產量和作品中呈現的特殊物體、平面性的規則鑲嵌、不可能圖形之意境,在數學、科學、心理學和美學的範疇都引發迴響。有趣的是,艾雪本人既不專攻心理學、也非科學家,就數學領域而言完全是個門外漢,他不能被劃歸於任何一個繪畫派別,且對大多數的現代藝術表現手法不屑一顧,甚至表明不想被貼上藝術家的標籤。在此引用《魔鏡──埃舍爾的不可能世界》一書中所言:「艾雪其實更像位思想家,只不過他的思想不是付諸語言,而是形諸繪畫。他的每一幅作品,都是他思想探險的一個紀錄和總結。」1
艾雪式風格遺世而獨立,具有獨樹一格的思想性與目標。雖然無法只用單一領域的角度,全面性地觀賞到艾雪耐人尋味的作品景色,但透過對其哲理性的數學邏輯思考以及觀者審美的眼睛,我們仍能以愉悅輕快的心情來窺其神秘面紗。
多樣化的作品演變
艾雪的工作內容相當廣泛,從郵票、藏書票、賀年卡、書籍封面、海報、包裝紙設計至鈔票紙幣、壁畫、磁磚壁畫皆製作過。以作品主題來作區分,1937年之前,以義大利南部的風景以及地中海城鎮、村莊的描繪再現占大多數。1937年之後,經歷戰爭與搬家遷徙,約莫有70多幅的作品都帶有數學的味道,如把這些帶有數學意味的作品再作分類,可以歸納出三大主題:2
1. 空間結構
多以風景畫、不同世界的交融與一些抽象的數學立體造型為主。
2. 平面結構
此類作品始於艾雪對規則鑲嵌圖案(週期性平面分割)的興趣,這跟他1936年二次前往西班牙的阿爾罕布拉宮(Alhambra)有極大關係。在阿爾罕布拉宮中,摩爾人(Moors)大量使用平面鑲嵌技法來裝飾牆壁,摩爾人專精於此道,能夠用幾種完全相同的圖案一片接一片沒有任何縫隙地鑲嵌完整個平面。艾雪在1922年首次到訪時,並沒有太大的研究收穫。日後在妻子的陪伴下再訪時,這些圖形使他深深著迷,他們整日臨摹摩爾人的鑲嵌圖案,艾雪為此還努力閱讀裝飾以及數學文獻方面的書籍。雖然無法融會貫通所有知識,但透過不斷地切割、不停地繪製圖畫以及精心鑽研,艾雪終於自成一套完備的系統。正如他後來的說法,他的魚、蜥蜴、人、房子以及其他一切,並不是他絞盡腦汁構想出來的,而是週期性空間填充為他做出來的。3
摩爾人因信仰因素,禁止用任何方式製造、描繪具體有生命的形象,使得作品中只能侷限在抽象的幾何圖形中,但艾雪不受此限制,他熱衷於描繪具體形象且樂於訴諸對各種生物的聯想,這為其鑲嵌畫增添了不少豐富變化與特色,也催生了之後可辨識圖形的變形、探索循環以及無窮主題的作品。(閱讀全文,請下載附加檔案)
註記:本文原載於《藝術認證》59期(2014年12月號),頁34-39。
閱讀全文:那永無止境的鑲嵌世界─艾雪跟你玩拼圖遊戲
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分類:類艾薛爾鑲嵌作品
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發佈於:18 七月 2016
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點擊數:811
作者:許志農
本專欄收錄國內中學(數學或美術)老師,在課堂上教導學生模仿薛爾鑲嵌作品所親自創作的鑲嵌作品。我們把這些類艾薛爾鑲嵌作品依投稿或邀請時間順序歸類在以下的播放區,例如第一個播放區是本人到弘道國中演講,李佳樺老師指導弘道國中學生的優良作品,這些作品也在慶祝弘道國中創校一百週年的活動中展出。
我們歡迎國內(數學或美術)老師在課堂上(數學創意課程或美術課)指導的優良作品可以投稿本專欄。投稿者可以用
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與本人聯繫。
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分類:勾股藝術殿堂序
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發佈於:10 六月 2015
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點擊數:1702
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在《勾股藝術殿堂》裡,我們將所搜集到有關勾股定理的證明,經過中文化與一致化後呈現在這專欄內。一百年前,美國數學教師魯米斯搜集到371個來自世界各地,縱貫古今的勾股定理證明,並寫成《勾股定理》一書,而網頁興起之後,Alexander Bogomolny 在自己的網頁上搜集了111個勾股定理的證明。這些是我及我的學生開始工作的起點。另外,板橋高中蘇章瑋老師也幫勾股定理的「拼圖式證明」寫勾股拼圖的數位版。
下圖中,左圖是希臘為紀念《幾何原本》上的勾股定理證明所發行的郵票圖形,右圖是我的美工安蓉所畫的揹姑娘勾股圖:
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分類:勾股線上拼圖
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發佈於:02 九月 2016
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點擊數:2260
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
劉徽在《九章算術注》裡,利用「割補術」作了「青朱出入圖」來證明勾股定理,劉徽對於「青朱出入圖」的解釋為:「勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其餘不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。」意思是:對於任意一個直角三角形,以勾寬作紅色正方形即朱方,以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列,再進行割補,以合成弦的正方形即弦方,弦方開方即為弦長,如下圖所示:
劉徽的「青朱出入圖」
劉徽的割補術被中國數學家吳文俊先生稱之為「出入相補原理」,它指的是「一個平面圖形由一處移至他處(可以透過平移,旋轉及翻面來移動),面積不變。又若把圖形分割成若干塊,那麼各部分面積和等於原來圖形的面積,因而圖形移置前後諸面積間的和、差有簡單的相等關係。立體的圖形也是這樣。」這種的推理方式,從劉徽之後一直是中國古代數學推導圖形面積(或體積)公式的方法。
特別地,當勾股定理的證明中,只用到「以盈補虛、出入相補」時,這個證明往往會產生有趣的拼圖問題,我們把這種證明叫「勾股拼圖式證明」。例如,劉徽「青朱出入圖」的勾股證明會形成下圖這道有趣的拼圖:
勾股拼圖式證明的證明方式就是把兩股所圍的正方形,透過適當的切割,然後再將切割所得的拼塊貼滿斜邊所圍出的正方形。這類形的證明可以發展成拼圖的益智遊戲,在已知的五六百個勾股定理的證明中,我的學生把所有拼圖式證明都用Flash軟體,設計成28個拼圖遊戲,希望這些拼圖遊戲是老少咸宜的益智遊戲,而且有些勾股拼圖遊戲的封面還設計了一分鐘的勾股表演,表演內容是取自勾股定理的一些故事。
閱讀全文:勾股線上拼圖說明