勾股線上拼圖說明
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分類：勾股線上拼圖
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發佈於：02 九月 2016
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
劉徽在《九章算術注》裡，利用「割補術」作了「青朱出入圖」來證明勾股定理，劉徽對於「青朱出入圖」的解釋為：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」意思是：對於任意一個直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長，如下圖所示：
劉徽的「青朱出入圖」
劉徽的割補術被中國數學家吳文俊先生稱之為「出入相補原理」，它指的是「一個平面圖形由一處移至他處（可以透過平移，旋轉及翻面來移動），面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那麼各部分面積和等於原來圖形的面積，因而圖形移置前後諸面積間的和、差有簡單的相等關係。立體的圖形也是這樣。」這種的推理方式，從劉徽之後一直是中國古代數學推導圖形面積（或體積）公式的方法。
特別地，當勾股定理的證明中，只用到「以盈補虛、出入相補」時，這個證明往往會產生有趣的拼圖問題，我們把這種證明叫「勾股拼圖式證明」。例如，劉徽「青朱出入圖」的勾股證明會形成下圖這道有趣的拼圖：
勾股拼圖式證明的證明方式就是把兩股所圍的正方形，透過適當的切割，然後再將切割所得的拼塊貼滿斜邊所圍出的正方形。這類形的證明可以發展成拼圖的益智遊戲，在已知的五六百個勾股定理的證明中，我的學生把所有拼圖式證明都用Flash軟體，設計成28個拼圖遊戲，希望這些拼圖遊戲是老少咸宜的益智遊戲，而且有些勾股拼圖遊戲的封面還設計了一分鐘的勾股表演，表演內容是取自勾股定理的一些故事。