勾股藝術殿堂序
- 詳細內容
-
分類：勾股藝術殿堂序
-
發佈於：10 六月 2015
-
點擊數：1608
作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在《勾股藝術殿堂》裡，我們將所搜集到有關勾股定理的證明，經過中文化與一致化後呈現在這專欄內。一百年前，美國數學教師魯米斯搜集到371個來自世界各地，縱貫古今的勾股定理證明，並寫成《勾股定理》一書，而網頁興起之後，Alexander Bogomolny 在自己的網頁上搜集了111個勾股定理的證明。這些是我及我的學生開始工作的起點。另外，板橋高中蘇章瑋老師也幫勾股定理的「拼圖式證明」寫勾股拼圖的數位版。
下圖中，左圖是希臘為紀念《幾何原本》上的勾股定理證明所發行的郵票圖形，右圖是我的美工安蓉所畫的揹姑娘勾股圖：
勾股定理與勾股數：
勾股定理是一個歷史悠久的幾何定理，幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究，而勾股數發現的時間最早可回溯至古埃及在西元前2600年的紙草書就有(3,4,5)這一組勾股數，除了埃及人外也從古巴比倫泥板中發現，約西元前1900-1600年時，古巴比倫人已經知道至少15組勾股數，其中涉及的最大的一個勾股數組是(18541，12709，13500)。巴比倫人得到的勾股數的數量和質量不太可能純從測量獲得，因此我們猜想古巴比倫人可能已經發現了某些規律。在中國，最早《史記》記載大禹治水—左治繩右規矩，那就是運用勾股測量的工具，有關勾股定理的記載，最早出現在西元前100年西漢時代《周髀算經·趙君卿注》中，文中敘述商高在西元前1100年曾提過「勾廣三、股脩四、徑偶五」，然而商高所提到的是一個特別的直角三角形之邊長關係，即邊長為3、4、5的直角三角形，並無觸及一般性的「勾股定理」，有關一般性的勾股定理最早記載在《周髀算經·榮方問於陳子》中「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日」，這段敘述除了指出三角測量的方法外，並提到定理的一般性原則，即「句股各自乘，並而開方除之」。然而在西方國家將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理」，是因為大家認為是畢達哥拉斯(Pythagoras, 560B.C.- 480 B.C.)在觀察地面上磁磚的鋪設而發現此定理的，或至少是最先證明它的，但其實並沒有留下任何的證據讓我們相信畢達哥拉斯是首位完成此證明的人。
勾股定理證明：
早在勾股定理證明出現之前，勾股測量對於解決生活中相關的應用問題，已有相當程度的發展，但是都尚未談及理論性的證明，中國自《九章算術》之後，歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到東漢末年趙爽(趙君卿)的「弦圖」出現才為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明。而在西方國家最早有關勾股定理證明的紀載出現在約西元前300年，歐幾里得完成《幾何原本》，勾股定理出現在命題I.47，並且他在命題VI.31再給了另一個不同的證明，而歐幾里得在為其著作《幾何原本》做註解時仍將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派。至今關於勾股定理的證明已超過400多個，而且還在持續增加當中。
魯米斯在《勾股定理》中的371個證明：
魯米斯(E. S.t Loomis, 1852-1940)，出生於美國俄亥俄州梅迪納鎮，他是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家和土木工程師，除此之外最值得讚譽的頭銜是「教師」，這也是他最喜歡的工作，魯米斯以第三人稱來描述自己：「他作為教師的五十年間，他竭盡所能的培育超過4000名的男孩、女孩及年輕男女的行為習慣上，這為他烙刻了深深的印記。」
魯米斯撰寫了許多文章及出版許多叢書，範圍從幾何教學到倫理學、哲學及宗教等主題，其中他所撰寫的數學著作中，魯米斯認為1907年動筆，直到1927年才完成出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，1940年，他還做了修改，同時，他也在這一年去世。雖然魯米斯在數學圈中並不是家喻戶曉的名字，除了《勾股定理》這本書之外，大多數也已被人遺忘，但在他所著作的《勾股定理》這本書，在數學教育而言是相當重要的一本叢書，在1968年，美國數學教師協會(NCTM)重印這本著作，當成數學教育經典系列的第一本書籍。
魯米斯在《勾股定理》這本書中，搜集且分類了勾股定理的371個證明，此書首次出版於西元1927年，目前已有電子檔可供下載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版於西元1940年做了修改後出版，在書的最後，他將第二版的第257頁，「來自各方」的一些值得注意的證明當成附錄，並在書上寫下「E. S. Loomis博士，年齡將近88歲，1940年5月1日」。
魯米斯認為畢氏定理有著大量證明的原因，可能是來自中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明。《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西(Leonardo da Vinci)、托勒密(Claudius Ptolemaeus)、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)、荷蘭物理學家惠更斯(Huygens)的證明，還有盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge)約在1888年提出的證明，及16歲的高中女生安‧康地(Ann Condit)提出的，甚至是美國總統所提供的……等經典證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供的證明，可惜的是有些作者可能已無法考據。
這本書除了忠實的呈現畢氏定理的證明，也反映出作者的獨特性格，全書穿插了12幅名人的肖像，像是歐幾里得、哥白尼、笛卡兒、伽利略和牛頓，當然也包括了畢德哥拉斯，特別的是卷首的肖像則是魯米斯本人，正文的首頁展示了一個神祕的三角形，三個頂點標記著字母E. S. L.，顯然是作者名字的開頭字母，以及費人疑猜的數字4，及題字「32。」，簡言之，這是數學史上名聲顯赫之士或是沒沒無聞之輩的人物畫廊。
勾股定理形成至今是數學定理中證明方法最多的定理之一，雖然如此仍有許多人努力地在探究是否有更多的方式可以證明。數學有相當久遠的歷史，從史前人類透過自然觀察發展幾何知識開始即有勾股數的發現，一直到了14世紀文藝復興前，儘管此時被稱為數學的黑暗期，但關於勾股定理的證明卻已相當完整且豐富，此時勾股定理的分類一般而言可以分為三種：
1. 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題47，收錄在魯米斯《勾股定理》的G033，主要依賴面積相等的概念來證明。
2. 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之為「出入相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》G127，在印度則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII)為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》G225。
3. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題31，亦收錄在《勾股定理》的A001運用了相似三角形的比例性質，證明方式傾向代數操作。
(為了方便敘述，我們編制A為魯米斯(E.S.Loomis)《勾股定理》這本書中的代數證明，G為幾何證明。)
在14世紀至17世紀文藝復興期間的知識革命，造成近代數學的發展，除了算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備，還有變量概念的產生，及在研究力學的過程中微積分的發展等，從歷史的脈絡我們可知，數學從古至今便一直不斷地延展，甚至在與科學的相互作用下，數學工具如雨後春筍般蓬勃發展，此時勾股定理的證明方法也隨之延伸發展，關於勾股定理的證明，一直到此時此刻可能都還不斷地發現中，因此有別於文藝復興前，我們以現代的數學工具（或領域）將數百個勾股定理證明分類如下：
1. 代數證明(包含前述比例證法)
2. 幾何證明(包含前述的「面積證法」與「弦圖證法」)
3. 向量證明
4. 數列與級數的證明
5. 三角證明
6. 動態證明(使用物理知識證明)
7. 微積分證明
其中上述第1到第5種證明分類，皆隸屬於目前我們國家的中學生學習範圍內。
在魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了371個關於勾股定理不同的證明，並粗略的將勾股定理分成四個種類的證明，如下：
1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。
2. 幾何的證明(Geometric proofs)：面積比較的基礎，意味著空間的概念。
3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。
4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。
由於第3種及第4種證明是從「幾何的」證明所分出來的，而且裡面內容較少，所以這本書主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明，而書中也特別提到，因為三角函數的基本公式是根據勾股定理的真實性，即cos2x+sin2x=1這個等式是由勾股定理而來，是先有勾股定理才有三角函數的，因此為了避免循環論證，所以在此不會有與三角函數有關的證明。
Alexander Bogomolny 網頁上的111個勾股證明：
Alexander Bogomolny 在自己的網頁上搜集了111個勾股定理的證明。