勾股定理證明-G251 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：魯米斯勾股證明(幾何篇); 發佈於：05 九月 2016; 點擊數：475

【作輔助圖】

1. 分別以直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AC },\overline { BC } \)為正方形的一邊，向外作正方形\(ACDE\)及正方形\(BCFG\)。連\(\overline { DF } \)、\(\overline { EG } \)。

2. 在\(\overline { BD } \)延伸線上取一點\(K\)使\(\overline { DK } \)與\(\overline { BC } \)等長，並連\(\overline { EK } \)。接著延伸\(\overline { FD } \)與\(\overline { EK } \)交於\(L\)。

3. 在\(\overline { BA } \)延伸線上取一點\(H\)使\(\overline { AH } \)與\(\overline { DL } \)等長，並連\(\overline { DE } \)。接著在\(\overline { AB } \)延伸線上取一點\(I\)使\(\overline { BI } \)與\(\overline { DL } \)等長，並連\(\overline { IG } \)。最後在\(\overline { DF } \)延伸線上取一點\(J\)使\(\overline { FJ } \)與\(\overline { DL } \)等長，並連\(\overline { JG } \)。

【求證過程】

先作適當的輔助線將直角三角形\(ABC\)及其兩股上的正方形包進兩個梯形中。我們可以看到這兩個梯形是由兩個正方形及六個直角三角形所組成，而其中，左右的兩個直角三角形可以拼成與中間一樣的較大的直角三角形。接著如果我們去計算兩個梯形的面積，就會發現上底加下底為直角三角形的斜邊長，而高是斜邊長加上以斜邊為底的高。因此分配律展開後可以得到的就是斜邊自乘，加上四個直角三角形面積。其中斜邊自乘就可以看成是大的正方形面積，也就證明了畢氏定理關係式。

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附加檔案：
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G251.pdf	275 Kb

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