勾股定理證明-G249 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：魯米斯勾股證明(幾何篇); 發佈於：05 九月 2016; 點擊數：344

【作輔助圖】

1. 分別以直角三角形\(ABC\)的三邊為正方形的邊，向外作正方形\(ABDE\)、正方形\(BCFG\)及正方形\(ACHI\)。

2. 在\(\overline { CA } \)延伸線上取一點\(J\)使得\(\overline { AJ } \)與\(\overline { BC } \)等長，並連\(\overline { JE } \)。

3. 過\(E\)作\(\overline { JE } \)的垂直線，並在線上取一點\(L\)使得\(\overline { EL } \)與\(\overline { AC } \)等長，連\(\overline { LD } \)。並延伸\(\overline { IA } \)與\(\overline { LE } \)交於\(K\)。

4. 在\(\overline { CH } \)延伸線上取一點\(M\)使得\(\overline { HM } \)與\(\overline { BC } \)等長，連\(\overline { MI } \)。

5. 連\(\overline { FH } \)，並延伸\(\overline { FH } \)與\(\overline { MI } \)相交於\(Q\)。再延伸\(\overline { HF } \)，並在其延伸線上取一點\(N\)使得\(\overline { FN } \)與\(\overline { HQ } \)等長，連\(\overline { NG } \)。

6. 接著連\(\overline { CL } \)，並延伸\(\overline { CL } \)與\(\overline { AB } \)及\(\overline { ED } \)分別交於\(O\)及\(P\)。最後延伸\(\overline { DL } \)與\(\overline { CJ } \)交於\(R\)。

【求證過程】

先以適當的輔助線將直角三角形\(ABC\)及三邊上的正方形包進五邊形\(BCJED\)及六邊形\(ACBGNQI\)中。其中這個五邊形面積與六邊形面積是相等的。並且五邊形面積為大正方形面積加上兩個直角三角形，而六邊形面積則為兩個小正方形面積加上兩個同樣的直角三角形面積，因此可以證明出大正方形面積為兩個小正方形面積的和，也就是畢氏定理的關係式。

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附加檔案：
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G249.pdf	310 Kb

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