德魯斯插圖 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：艾薛爾無限系列; 發佈於：23 十月 2014; 點擊數：2109

撰稿：蘇章瑋

引言：《德魯斯插圖》(Plate VI, Regelmatige valkverdeling)是荷蘭版畫家艾薛爾在1957年9月所作的一幅木製版畫，作品每隻蜥蜴的身體使用單一顏色―白色及黑色著色。影片中的封面圖是艾薛爾在1956年10月所創作的版畫《越來越小》(Smaller and Smaller)，如下圖一所示：


圖一	圖二	圖三

1957年艾薛爾為德魯斯藏書俱樂部寫了一本《週期性空間填充》(Periodic Space-Filling)，《德魯斯插圖》即為該書的一幅插圖。圖二則是分析此插圖的數學骨架，艾薛爾將每一個數學骨架化為一隻隻的蜥蜴。接著觀察圖一《越來越小》的四個角落，與圖二相互比較下，可以發現它們使用了同樣的結構。再看圖三所示的另一幅作品《E101 分裂》，它們的無窮密鋪到底差別在哪裡呢？讓我們來瞧瞧吧！

一、德魯斯插圖的數學與藝術

我們可以把德魯斯插圖的影片分成如下的四幕：

第一幕：

影片由不等大小的等腰直角三角形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這等腰直角三角形正是其中每隻蜥蜴的數學骨架。

第二幕：

將數學舞台的一個等腰直角三角形放大，從這等腰直角三角形剪下六小塊後，依數學原理的旋轉及縮放後貼到正確的位置，即裁貼出蜥蜴。

第三幕：

將蜥蜴的外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度與大小將表演的蜥蜴們互相密合。

第四幕：

銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將一隻蜥蜴放到數學骨架上的正確位置後，再將其他不同大小的蜥蜴一隻一隻地放到其正確位置上，進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。

1.第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？

□ 等腰直角三角形 □ 正三角形 □ 正方形

2.第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？

□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放

3.影片中有幾種顏色的蜥蜴？

□ 兩種 □ 三種 □ 四種

4.鋪滿數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？

□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣大

二、如何從數學骨架裁貼出蜥蜴

綜合下面兩個方式即可裁貼出蜥蜴，方式如下：

甲、將等腰直角三角形剪下六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六個小區塊經由旋轉後貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e ；F → f

乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的縮放與旋轉：

(1)A → a：將 A 區塊以上方斜邊中點為中心旋轉到 a

(2)B → b：將 B 區塊以上方斜邊中點為中心旋轉到 b

(3)C → c：將 C 區塊以上方斜邊中點為中心旋轉到 c

(4)D → d：將 D 區塊以下方直角頂點為中心旋轉到 d

(5)E → e：將 E 區塊以下方直角頂點為中心旋轉到 e

(6)F → f：將 F 區塊以下方直角頂點為中心旋轉到 f

裁貼出蜥蜴後可以發現：等腰直角三角形的其中三個頂點分別在蜥蜴的頭與尾巴、手肘。而左上圖的A → a與F → f的形狀是相似的，其裁貼旋轉的角度由180度改為90度，而B → b與E → e、C → c與D → d也是如此。更甚，如右上圖將蜥蜴骨架三頂點與斜邊的中點劃分為四份後，將發現將發現這四份的線條是完全相似的。如此一來，我們將發現右上圖所劃分的四份，其實是同一份的伸縮、旋轉、翻面所造成的。這就是蜥蜴在數學骨架上的正確位置。

三、真的是蜥蜴磁磚嗎

由藝術表演可以知道經過數學原理形成的蜥蜴可以互相密合，其密合方式要分為兩類，我們看看下面：

(1) 同樣大小的的蜥蜴之間密合