1.許教授與阿基米德的胃痛拼圖合影

詳細內容: 分類：《數學美拾趣》; 發佈於：01 十一月 2013; 點擊數：1930

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

數缺形時少直覺，

形少數時難入微。

在加州史丹福大學同步輻射實驗室，古文物復原專家運用紫外光與數位圖像電腦處理技術，讓阿基米德發明的一道遊戲重現天日。1998年10月30日，《紐約時報》頭版登了一則報導：紐約佳士得拍賣會上，有一本其貌不揚的古書，以美金200萬的高價成交。從外表看，這本書就像是中世紀某位修士的祈禱書，磨損不堪，布滿燒焦、水漬、發霉的痕跡。然而在祈禱文的下方，隱約可看見幾乎被擦拭掉的、傳抄自古代科學家阿基米德的抄本。這祈禱書是教士約翰‧麥隆納斯於公元1229年4月14日抄寫，想在耶穌復活周年日，當作禮物獻給教會。羊皮紙從古代中世紀開始使用，由於價值極為貴重，通常經過皮面刮削後，重新書寫，被稱為再生羊皮紙，麥隆納斯將祈禱文書寫在再生羊皮紙上。

透過高科技的掃瞄，祈禱書最後一頁原本是阿基米德稱為《胃痛》的一篇文章。該文章並非談身體的疼痛，而是在論述一道組合學的問題，而且附了一個正方形的插圖。

這拼圖一說是阿基米德發明的，也有人認為更早之前就被發明，阿基米德只是研究過它

而已。現在只有兩條線索知道這拼圖，其一是從阿拉伯文中發現這個拼圖，在這個方向上，大都把它看成類似中國的七巧版，當成一種益智遊戲，隨意的拼出各種造型的東西；另一條線索是從一本再生羊皮書所讀出的阿基米德手稿，在這手稿中，可以確定的是：阿基米德把胃痛拼圖當成一道組合問題研究。

有幾組不同的組合學家都確認出，一共有

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種拼法。為了美觀及容易辨識起見，我們可以將這十四塊拼圖塗上不同的顏色，右圖就是眾多不同拼法中的一種，也是很困難的一種。

阿基米德的胃痛拼圖會有這樣多的不同拼法，應該不是運氣好發現的，而是精心設計得到的，唯有將幾何與代數融合在一起，才能發明如此巧妙而多變的拼圖。接下來讓我們來談論另一件幾何與代數交融的傑作。

一百多年前（西元1899年）皮克發現並證明了三角形面積的一個有趣公式：

這個公式是當三角形的三個頂點都落在格子點上時才成力的，而且符號S代表落在三角形邊上的格子點數，符號I代表落在三角形內部的格子點數。舉例來說，下圖中的三角形邊上一共有6個格子點，內部有10格子點，即

S=6, I=10.

根據皮克公式，三角形的面積為

〈皮克公式之我譯〉

每個數學公式發現之前總是有他的雛形或基本想法，究竟皮克是透過怎樣的創意發現了面積公式，我們不得而知，但是，將上圖想成鋪地磚的想法，似乎可以給我們皮克公式之合理性的一點啟發。

習題：

1.一位年輕的老師從教書的第一天起就玩起胃痛拼圖，每天到學校的第一件事情就是拼出一幅沒拼過的胃痛拼圖。請幫這位年輕老師算一算，當這位老師退休時，是否所有的胃痛拼圖都會拼出來。

2.在還沒有發明紙張的年代（即蔡倫之前），西方的數學知識是書寫在泥版、紙草書或羊皮紙（如巴比倫泥版、埃及紙草書、歐幾里得的幾何原本紙草書和阿基米德的再生羊皮書）上流傳，中國的數學知識利用竹簡來傳播。試論述兩者會產生怎樣的影響？

3.將皮克公式推廣到四邊形或者多邊形，公式會有所不同嗎？試試看！

4.在〈皮克公式之我譯〉中，說明三個頂點上的正方形磁磚與三角形相交三塊區域的面積總和為何剛好是一個正方形面積的一半？

5.唐三藏翻譯的經典裡記載著「以鐵為數珠者，誦掐一遍得福五倍；若以赤銅為數珠者，誦掐一遍得福十倍；若以珊瑚為數珠者，誦掐一遍得福百倍…。」已知某人以鐵﹑赤銅及珊瑚數珠共計百遍，得福六百倍，求此人以鐵﹑赤銅及珊瑚數珠各幾遍。

6.下圖左圖是最近被發現的阿基米德的《胃痛》拼圖，將正方形分個成14塊多邊形：

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