7.阿基米德的馱龜幻想曲
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分類：《數學美拾趣》
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發佈於：01 十一月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
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割之彌細，所失彌少，
割之又割，以至於不可割，
則與圓周合體而無所失矣。
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劉徽為了論述圓面積發明了割圓術，並將割圓術的精神用文字「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」來描述。不僅是東方的劉徽對圓有“割之又割，以至於不可割”的困擾，西方的阿基米德在求拋物線的弓形面積時，也發生同樣的情況。他們所不同的是，阿基米德採取了馱龜的比喻來闡釋拋物線的弓形面積。就讓我們來欣賞阿基米德的馱龜幻想曲：
一隻大烏龜馱上兩隻中烏龜，這兩隻中烏龜的重量都是大烏龜的八分之ㄧ，又每隻中烏龜又背著兩隻小烏龜，這兩隻小烏龜的重量也都是中烏龜的八分之ㄧ，如此疊上去。已知最底下的大烏龜有3公斤重，求所有烏龜的總重量？
拋物線與弦所圍的區域稱為拋物線的弓形，世界上第一位會算拋物線弓形面積的人是兩千多年前的阿基米德。阿基米德以弦為底畫出一個三角形，之後在兩邊再各畫一個三角形，如下圖所示：
阿基米德說：「如果依照這樣的規律一直畫下去，那麼這些三角形的面積總和就會是拋物線的弓形面積。」直觀看來，兩者的差異愈來愈小，問題是，這些三角形有無窮多個，而且不知道其面積總和該如何求？阿基米德進一步說：「馱在上面的兩個三角形之面積和是底下這個三角形面積的四分之ㄧ，由此可推得拋物線的弓形面積是最大三角形面積的三分之四倍。」在沒有微積分的幫忙之下，能夠算出這樣的結果，算是出類拔萃之人。
將上述情境中的三角形改成烏龜，面積視為烏龜的重量，就是這裡所談的問題！
“割之又割，以至於不可割”與“畫之再畫，以至於不可再畫三角形”是劉徽與阿基米德所碰到的共同困擾。物理學家費曼先生提過一則有趣的故事：「給你一顆橘子及一把刀，將橘子切成薄片，有辦法讓薄片薄到足以蓋著整個地球表面嗎？」費曼利用這道問題來檢驗學生是數學思考還是物理考量。
習題：
1.利用無窮等比級數的求和公式算烏龜的重量總和。
2.請討論費曼先生的問題。
3.下圖是半徑為1的圓與邊長為2的正方形相切的情形：讓電腦隨意從正方形內選出1000個點，你認為這1000個點中有幾個點會落在圓內。
