14.柯施克的正十二邊形定理…典雅的鑲嵌

詳細內容: 分類：《數學美拾趣》; 發佈於：31 十月 2013; 點擊數：1395

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

同樣邊長的正三角形﹑正方形與正十二邊形磁磚可以鑲嵌﹑鋪滿整個平面。正十二邊形究竟有何魅力？且讓我們來欣賞匈牙利數學家柯施克利用幾何鑲嵌所證明的一道定理：

半徑1的圓內接正十二邊形的面積剛好為3。

以數學為內容的競賽有著悠久的歷史：古希臘時就有解幾何難題的比賽；十三世紀在義大利有所謂的宮廷數學競賽，斐波那契參加過這項考試，其著作《花朵》就涵蓋了宮廷數學競賽的一些問題；十六世紀在義大利有過關於塔塔利亞求解三次方程的激烈競爭；十七世紀，不少數學家喜歡提出一些問題向其他數學家挑戰，費馬所提出的費馬大定理就是一個例子；十九世紀，法國科學院以懸賞的方法徵求對數學難題的解答，常常獲得一些重要的數學發現，高斯就是比賽的優勝者。但是，專門以中學生為對象的數學競賽源於匈牙利，在 1894 年，匈牙利舉辦第一屆由高中學生參加的數學競賽，此競賽每年十月舉行，每次出三題，限四小時完成，允許使用任何參考書。到今天已經舉辦了一百多屆，為了感謝匈牙利數學家柯施克（J. Kurschak, 1864～1933）當初對此競賽所付出的努力及其對數學的貢獻，這項比賽也改以柯施克數學競賽來命名。我們在市面買到的匈牙利數學競賽問題與解答就是當年柯施克編輯的。

在中學幾何，柯施克有一項重要成就，他不用面積的代數公式，而單純只用幾何構造，證明了「單位圓內接正十二邊形的面積剛好為3。」