15.轉移矩陣
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分類：《數學美拾趣》
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發佈於：31 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
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轉 移 矩 陣 |
倒水問題是一道有趣的數學問題，大意是說：「有甲﹑乙及丙三個水瓶，開始時分別裝有a,b及c公升的水。每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶。設n輪操作後，甲﹑乙及丙瓶的水有an,bn及cn公升，如何將an,bn及cn的公式表達出來，又一直操作下去，三瓶子裡的水會穩定下來嗎？如果會，那麼最終三瓶子會有水各幾公升？」
轉移矩陣
是解決「倒水問題」的關鍵。所謂的轉移矩陣就是指每行的數字和都是1，而且矩陣的每個元數都大於或等於0的矩陣，例如上述三階方陣的三行的和都是1，而且每個元數都大於或等於0。當我們仔細去計算時，可以得到遞迴關係式
進一步可以推得
當操作一直進行下去時，三瓶子裡的水是會趨近穩定狀態的，而且甲﹑乙及丙瓶的水在穩定狀態時的比例x:y:z會滿足
即
解得x:y:z=2:1:1。因為三瓶子裡的總水量是a+b+c公升，所以甲﹑乙及丙三個水瓶在穩定狀態時的水量分別為
公升。
從上面的詮釋可知：倒水問題是一道不容易的趣題，它牽扯到矩陣的概念，而且是相當深的概念。在瓶子只有兩個時，得到的轉移矩陣是二階方陣，會比較好處理，九十八年度的大學聯考就考過這樣的特例。
習題:
1.（98數乙指考試題）設有A、B兩支大瓶子，開始時，A瓶裝有a公升的純酒精，B瓶裝有b公升的礦泉水。每一輪操作都是先將A瓶的溶液倒出一半到B瓶，然後再將B瓶的溶液倒出一半回A瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設n輪操作後，A瓶有an公升的溶液，B瓶有bn公升的溶液。已知二階方陣
滿足
。
(1) 求二階方陣
。
(2) 當
時，求a100及b100。
時，求a100及b100。
(3) 當時，在第二輪操作後，A瓶的溶液中有百分之多少的酒精？
時，在第二輪操作後，A瓶的溶液中有百分之多少的酒精？