E010 魚貫 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：艾薛爾鑲嵌版畫( Flash 版); 發佈於：06 一月 2014; 點擊數：1190

撰稿：蕭瑞甫

引言：《E010 魚貫》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937至1938年的冬天所作的一幅作品，每隻魚的身體為單一顏色─紅色、藍色及白色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水及水彩，而我們影片裡的封面圖是摩拉維亞學院數學退休榮譽教授 Doris Schattschneider 在其書《Visions of Symmetry》中所提供的一張圖片，如下圖所示：

這裡我們仔細來觀察圖片中上下兩種魚的排列，圖片下方魚的排列方式為艾薛爾較早期的鑲嵌設計：不論是同一排相鄰的、或是不同排相鄰的兩條魚，都是藉由其中一隻魚旋轉180度而成；而圖片上方魚的排列方式則是：不同排相鄰的兩條魚，是經由翻面過後再平移所產生。最後艾薛爾選擇了圖片上方的設計來完成《E010 魚貫》這幅作品，究竟排列整齊且能鋪滿畫面的魚是如何形成的呢？讓我們一起來解開這道神秘的問題吧！

一、魚貫的數學與藝術

我們可以把魚貫的影片分成如下的四幕：

第一幕：

影片由長方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這長方形正是魚貫的數學骨架。

第二幕：

將數學舞台的一個長方形放大，從這長方形剪下五小塊後，依數學原理的平移、旋轉及翻面貼到正確的位置，即裁貼出魚貫。

第三幕：

將魚貫外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的魚兒們互相密合。

第四幕：

銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將魚貫一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。

1.第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？

□ 正方形 □ 菱形 □ 長方形

2.第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？

□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面

3.影片中有幾種顏色的魚貫？

□ 兩種 □ 三種 □ 四種

4.鋪滿數學舞台的魚貫們有哪些特色？

□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣

二、如何從數學骨架裁貼出魚貫

綜合下面兩個方式即可裁貼出魚貫，方式如下：

甲、將長方形剪下五個小區塊 A , B , C , D , E，並將這五個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e

乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移、旋轉與翻面：

(1) A → a ：先將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 a

(2) B → b ：將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 b

(3) C → c ：將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 c

(4) D → d ：將 D 區塊向右平移到 d

(5) E → e ：先將 E 區塊翻面後再平移到 e

裁貼出魚貫後可以發現：長方形的其中兩個頂點分別在魚貫的尾鰭後端、魚尾巴下方（回顧A → a），這就是魚貫在數學骨架上的正確位置。

三、真的是魚貫磁磚嗎

由藝術表演可以知道經過數學原理形成的魚貫可以互相密合，其密合方式有兩種：

(1) 魚並排的密合	(2) 魚尾巴的密合

有了這兩種密合方式，就可以將魚貫密鋪在平面上了。

四、魚貫的鑲嵌圖

甲、魚貫鑲嵌圖

透過了解魚貫在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出魚貫鑲嵌圖，左下圖是先將魚貫放在數學骨架上的正確位置，其他魚貫除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。

關於艾薛爾的《E010 魚貫》原圖，如下圖所示：

開頭我們有提到艾薛爾對這幅畫作有兩種設計，一種是全部的魚貫皆為單一方向，另一種則會有兩種方向的魚貫出現，會有這兩種拼湊方式，主要是在於切割圖形時的差異所產生。這裡我們回顧 E → e 可以發現一件事，假如我們不是利用翻面再平移，而是直接以旋轉點來旋轉，那就變成了艾薛爾早期的設計了；不過 E 部分其實為一個對稱的圖形，不管我們利用這兩種的其中哪一種方法，最後都會是一樣的魚。

乙、魚貫著色遊戲

把魚貫當磁磚，讓相鄰兩個魚貫顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！

丙、魚貫拼圖遊戲

看到這裡是否對魚貫鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的魚貫拼圖遊戲，請再仔細觀察魚貫鑲嵌圖的排列方式，遊戲開始囉！

E010 魚貫回饋單

1.仔細想想，你在哪個地方見過長方形磁磚鋪設的地板？

2.請你回想一下，每一個魚貫周遭圍繞著幾個魚貫呢？

□ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個

3.魚貫的表面積與其數學骨架長方形的面積是否一樣？

□ 是 □ 否

4.如下圖，左邊的魚貫和右邊的魚貫是什麼樣的關係呢？

□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面