E121 魚與鳥 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：艾薛爾鑲嵌版畫( Flash 版); 發佈於：27 六月 2014; 點擊數：668

撰稿：李勁緯

引言：《E121 魚與鳥》是荷蘭版畫家艾薛爾在1964年5月所作的一幅作品，畫裡的鳥與魚，分別使用黑色與黃色單一顏色著色，主要繪圖工具為墨水及水彩，而我們影片裡的封面圖是艾薛爾在1949年時所設計的掛毯，如下圖一所示：

觀察圖一所示的掛毯下方，可以看到和《E121 魚與鳥》類似的輪廓，而圖二所示則為和《E121 魚與鳥》一同創作在同塊版子上的另一幅作品《E120 魚與鳥》。艾薛爾在兩幅作品上都寫下這樣一句話：「system I^C -I^C」，說明了艾薛爾的這兩幅作品皆使用了相同的拼合方式來製作。

一、魚與鳥的數學與藝術

我們可以把魚與鳥的影片分成如下的四幕：

第一幕：

影片由矩形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這矩形正是魚與鳥的數學骨架。

第二幕：

將數學舞台的一個矩形放大，從這矩形剪下三個小塊後，依數學原理的平移貼到正確的位置，即裁貼出魚與鳥。

第三幕：

將魚與鳥外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的魚與鳥們互相密合。

第四幕：

銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將魚與鳥一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。

1.第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？

□ 正方形 □ 矩形 □ 梯形 □ 鳶形

2.第二幕剪貼的過程中，用到了哪些數學方法？

□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面

3.影片中有幾種顏色的魚與鳥？

□ 兩種 □ 三種 □ 四種

4.鋪滿數學舞台的魚與鳥們有哪些特色？

□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣

二、如何從數學骨架裁貼出魚與鳥

綜合下面兩個方式即可裁貼出魚與鳥，方式如下：

甲、將矩形剪下三個小區塊 A , B , C ，並將這三個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c

乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移：

(1) A → a ：將 A 區塊向右平移到 a

(2) B → b ：將 B 區塊向上平移到 b

(3) C → c ：將 C 區塊向上平移到 c

在矩形的數學骨架上經過巧妙的切割並透過平移的數學運作之後，栩栩如生的魚與鳥就誕生了，如下圖所示：

裁貼出魚與鳥後可以發現：矩形的三個頂點分別在魚的嘴巴、魚的尾巴的一點和鳥下翅膀上的一點，這就是魚與鳥在數學骨架上的正確位置。

三、真的是魚與鳥磁磚嗎

由藝術表演可以知道經過數學原理形成的魚與鳥磁磚可以互相密合，其密合方式有兩種：

(1) 鳥嘴和魚鰭的密合	(2) 鳥翅膀和魚嘴的密合

有了這兩種密合方式，就可以將魚與鳥密鋪在平面上了。

四、魚與鳥的鑲嵌圖

透過了解魚與鳥在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出魚與鳥鑲嵌圖，左下圖是先將魚與鳥放在數學骨架上的正確位置，其他魚與鳥除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。

關於艾薛爾《E121 魚與鳥》原圖，如下圖：

在原圖右下角，有一個白色的區塊，在黑色鳥的嘴巴有四個點，將這四點連線便是這魚與鳥的矩形數學骨架，而在黃色魚的嘴巴也有四個點，也將這四個點連線也是這魚與鳥的矩形數學骨架，代表可以找到不同的數學骨架，數學骨架不唯一，而且這兩個矩形的面積一樣。

E121 魚與鳥回饋單

1.根據你的經驗，下列哪一個地方最有可能用矩形密鋪？

□ 人行道 □ 家裡客廳地板 □ 廟宇地板

2.如下圖，右邊魚是左邊魚是什麼樣的關係呢？

□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面

3.魚與鳥的表面積與其數學骨架矩形的面積是否一樣？

□ 是 □ 否

4.請你回頭仔細看魚與鳥鑲嵌圖，算一算每一隻鳥周遭圍繞著幾隻魚呢？(相鄰才算，只接觸一點不算)

□ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻

5.右下圖為艾薛爾的另一幅作品《E120 魚與鳥》，這作品也利用了矩形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正確的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鳥與魚。

6.關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分)

又有何建議：

附加檔案：
File	File size
E121.pdf	726 Kb

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