艾薛爾鑲嵌藝術使用說明 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：艾薛爾鑲嵌藝術; 發佈於：02 十月 2014; 點擊數：3237

作者：國立台灣師範大學數學系許志農教授

序與目錄

《艾薛爾鑲嵌藝術》是國立台灣師範大學數學系許志農教授與他的研究生所開發設計的一套數位產品，基本上以Adobe的Flash軟體設計而成。主要是用動畫的影片來描述與說明荷蘭版畫家艾薛爾一生所畫137幅平面鑲嵌作品的數學原理。沈玟妤老師是設計與開發這些數位產品的第一位研究生，她設計了教學版、拼圖、著色與工作單，我的後面學生（瑞甫，雅婷，欣樺，勁緯，章瑋，國書與肇嘉等）就根據玟妤開發的版式，將艾薛爾的137幅平面鑲嵌作品陸續做出數位產品。艾薛爾鑲嵌藝術是跨界的結合，它揉合了數學、美術、音樂與電腦科技，算是一種數學文化創意產業。民國103年2月27日至6月2日，故宮的《錯覺藝術大師-艾雪的魔幻世界畫展》中，我們幫忙設計四幅艾薛爾的鑲嵌版畫動畫，一起在這次展覽中呈現；而民國103年10月至104年1月，高雄美術館接續展〈艾雪的魔幻世界畫展〉，我們亦幫高美館的艾雪展製作六支一分鐘的艾雪鑲嵌影片及設計一個奇異蜥蜴鑲嵌杯墊，也廣受歡迎。

我們開發的這些數位產品與工作單可以從艾薛爾鑲嵌藝術光碟片取得或者到本人的個人網站《非想非非想數學網》觀看，網址為

pisa.math.ntnu.edu.tw

本使用說明就是要說明「如何操作與使用教學版、拼圖、著色與工作單這四樣數位產品與工作單。」以下都以編號E025的版畫（艾薛爾將此版畫取名為蜥蜴）來做使用說明。

1.教學版使用說明

《艾薛爾鑲嵌藝術》的教學版就是將艾薛爾每一幅鑲嵌作品做解說，說明如何從數學骨架演化到各種天上飛的，地上爬的，海裡游的生物鑲嵌圖形。我們以編號E025的版畫（艾薛爾將此版畫取名為蜥蜴）來做使用說明如下：

從《艾薛爾鑲嵌藝術》光碟上點擊〈E025蜥蜴教學版.exe〉檔案，打開後會進入底下畫面：

①為〔鑲嵌影片播放按鈕〕：

點擊此按鈕進入鑲嵌影片的播放，播放時間約三分鐘，而播放中，點擊畫面左側標會暫停播放，再點擊一次則繼續播放，如下圖所示：

②為〔鑲嵌圖片呈現按鈕〕：

點擊此按鈕進入各種鑲嵌圖片的欣賞，有封面圖，鑲嵌原圖，畫有數學骨架的原圖，有些含割補與拼貼的互動教學。

③為〔鑲嵌圖片封面圖〕：

艾薛爾有時針對這幅鑲嵌版畫會另外畫相關的版畫，在此幅作品中我們把它選為封面圖。

2.拼圖使用說明

從《艾薛爾鑲嵌藝術》光碟上點擊〈E025蜥蜴拼圖.exe〉檔案，打開後會進入底下畫面：

①為〔拼圖遊戲開始進行按鈕〕：

點擊此按鈕即進入拼圖遊戲畫面，而拼圖遊戲進行中，點擊畫面左側標(上)會回到艾薛爾鑲嵌拼圖操作首頁，點擊畫面左側標(下)會出現此幅拼圖的數學骨架參考線，如下頁圖片所示：

②為〔參考解答呈現按鈕〕：

點擊此按鈕進入畫有數學骨架的參考鑲嵌拼圖解答。

③為〔拼圖遊戲規則說明區〕：

此為拼圖遊戲規則及使用滑鼠操作說明區。

下圖為拼圖遊戲完成畫面

3.著色使用說明

從《艾薛爾鑲嵌藝術》光碟上點擊〈E025蜥蜴著色.exe〉檔案，打開後會進入底下畫面：

①為〔著色區域放大、縮小按鈕〕：

點擊此按鈕可以調整著色區域大小，共有兩種尺寸。

使用滑鼠左鍵點擊著色區內的圖形即可著色，同區域再點擊一次則更換著色顏色。

②為〔著色清除按鈕〕：

著色遊戲進行中，在著色區內有圖形上色的情況下，點擊此按鈕可以清除著色區域內的所有上色回到未著色初始狀態。

4.工作單使用說明

E025 蜥蜴工作單

撰稿：沈玟妤

引言：《E025 蜥蜴》是荷蘭版畫家艾薛爾在1939年1月所作的一幅作品，每隻蜥蜴的身體為單一顏色─紅色、綠色及白色，主要繪圖工具為墨水、鉛筆及水彩，而我們影片裡的封面圖《蜥蜴》(reptiles)是艾薛爾在1943年時創作的一幅版畫，如下圖所示：

觀察此幅作品的蜥蜴，可以發現牠從畫中紙張的蜥蜴圖形緩慢爬行漸漸變成有生命的蜥蜴，歷經由平面轉換為立體再由立體進入平面，象徵著生生不息與永恆地循環，這也是艾薛爾神秘又精彩的版畫世界。讓我們接著來觀賞蜥蜴的影片探究這場美麗的邂逅。

一、蜥蜴的數學與藝術

我們可以把蜥蜴的影片分成如下的四幕：

第一幕：

影片由正六邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正六邊形正是蜥蜴的數學骨架。

第二幕：

將數學舞台的一個正六邊形放大，從這正六邊形剪下六小塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蜥蜴。

第三幕：

將蜥蜴外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的蜥蜴們互相密合。

第四幕：

銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將蜥蜴一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。

1.第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？

□ 正三角形 □ 正方形 □ 正六邊形

2.第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？

□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面

3.影片中有幾種顏色的蜥蜴？

□ 兩種 □ 三種 □ 四種

4.鋪滿數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？

□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣

二、如何從數學骨架裁貼出蜥蜴

綜合下面兩個方式即可裁貼出蜥蜴，方式如下：

甲、將正六邊形剪下六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d ；E → e；F → f

乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉：

(1)A → a ：將 A 區塊以點 O 為旋轉點旋轉到 a

(2)B → b ：將 B 區塊以點 P 為旋轉點旋轉到 b

(3)C → c ：將 C 區塊以點 Q 為旋轉點旋轉到 c

(4)D → d ：先將 D 區塊以點 R 為旋轉點旋轉再平移到 d

(5)E → e ：先將 E 區塊以點 S 為旋轉點旋轉再平移到 e

(6)F → f ：先將 F 區塊平移再以點 T 為旋轉點旋轉到 f

裁貼出蜥蜴後可以發現：正六邊形的其中三個頂點分別在蜥蜴的左臉頰、右膝蓋及左腳跟，這就是蜥蜴在數學骨架上的正確位置。

三、真的是蜥蜴磁磚嗎

由藝術表演可以知道經過數學原理形成的蜥蜴可以互相密合，其密合方式有三種：

(1) 左臉頰的密合	(2) 右膝蓋的密合	(3)左腳跟的密合

有了這三種密合方式，就可以將蜥蜴密鋪在平面上了。

四、蜥蜴的鑲嵌圖

甲、蜥蜴鑲嵌圖

透過了解蜥蜴在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出蜥蜴鑲嵌圖，左下圖是先將蜥蜴放在數學骨架上的正確位置，其他蜥蜴除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照三種密合方式密鋪。

關於艾薛爾的《E025 蜥蜴》原圖，如圖一所示：

圖一圖二

摩拉維亞學院數學退休榮譽教授 Doris Schattschneider 在其書《Visions of Symmetry》上談到一件事，蜥蜴作品上的鉛筆線是艾薛爾後來才畫上去的，可能是為了製作圖二與圖三這兩幅版畫的緣故：圖二所示為1939年作品《發展二》(develop Ⅱ)與圖三是在1940年所作的《蛻變二》(MetamorphosisⅡ)。

圖三

乙、蜥蜴著色遊戲

把蜥蜴當磁磚，讓相鄰兩隻蜥蜴顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！

丙、蜥蜴拼圖遊戲

看到這裡是否對蜥蜴鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的蜥蜴拼圖遊戲，請再仔細觀察蜥蜴鑲嵌圖的排列方式，遊戲開始囉！

E025 蜥蜴回饋單

1.仔細想想，你在哪個地方見過正六邊形磁磚鋪設的地板？

2.請你回想一下，每一隻蜥蜴周遭圍繞著幾隻蜥蜴呢？

□ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻

3.蜥蜴的表面積與其數學骨架正六邊形的面積是否一樣？

□ 是 □ 否

4.正六邊形的一個內角是幾度？

□ 60度 □ 120度 □ 150度

5.(1)將底下這個正六邊形的披薩平分給六個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形狀為何？

(2)若是平分給三個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形狀為何？

6.關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分)

又有何建議：

………………………………………………………………………………..................

填單人姓名：_____________ 填單日期：____年____月____日

e-mail：

電話：

□ 老師 □ 學生 □ 社會人士

學校 __________________________

班級 __________________________

E025 蜥蜴工作單

1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？

□ 正三角形 □ 正方形 ■ 正六邊形

2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？

■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面

3. 影片中有幾種顏色的蜥蜴？

□ 兩種 ■ 三種 □ 四種

4. 鋪滿數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？

■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣

E025 蜥蜴回饋單

1. 仔細想想，你在那個地方見過正六邊形磁磚鋪設的地板？

廟宇、台北市政府前人行道、師大分部圖書館旁人行道等

2. 請你回想一下，每一隻蜥蜴周遭圍繞著幾隻蜥蜴呢？

□ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 ■ 6隻

3. 蜥蜴的表面積與其數學骨架正六邊形的面積是否一樣？

■ 是 □ 否

4. 正六邊形的一個內角是幾度？

□ 60度 ■ 120度 □ 150度

5.(1)將底下這個正六邊形的披薩平分給六個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形狀為何？

正三角形或

等

(2)若是平分給三個人吃，該如何切，又每人所分得的披薩形狀為何？

菱形或

等

5.附錄：艾薛爾鑲嵌作品與數學骨架

編號	名稱	教學版	拼圖	著色	工作單	數學骨架
E001	狗	v	v	v	v	平行四邊形
E002	獅子	v	v	v	v	矩形
E003	舉重者	v	v	v	v	正方形
E004	稻草人	v	v	v	v	菱形
E005	鐵腕人物	v	v		v	平行四邊形
E006	駱駝	v	v	v	v	平行四邊形
E007	松鼠	v	v	v	v	平行四邊形
E008	馬到成功	v			v	正方形
E009	鳥	v			v	平行四邊形
E010	魚貫	v	v	v	v	矩形
E011	海馬	v	v	v	v	平行四邊形
E012	蝴蝶	v			v	正方形
E013	蜻蜓	v	v		v	正方形
E014	蜥蜴	v	v	v	v	正方形
E015	蜥蜴	v	v		v	正方形
E016	狗	v	v	v	v	矩形
E017	老鷹	v			v	矩形
E018	白天與晚上	v			v	平行四邊形
E019	鳥	v			v	矩形
E020	年年有魚	v	v	v	v	正方形
E021	小丑	v	v	v	v	菱形
E022	鳥與魚	v			v	平行四邊形
E023	鳥	v	v		v	正方形
E024	鳥與魚	v			v	矩形
E025	蜥蜴	v	v	v	v	六角形
E026	燕子與昆蟲	v			v	矩形
E027	蝴蝶與魚	v			v	正方形
E028	三隻鳥	v	v		v	六角形
E029	鳥與魚	v			v	平行四邊形
E030	魚與船	v			v	矩形
E031	魚	v			v	矩形
E032	魚	v			v	平行四邊形
E033	蜥蜴	v	v		v	矩形
E034	鳥與魚	v			v	鳶形
E035	蜥蜴	v	v		v	等腰直角三角形
E036	蛇	v	v		v	矩形或菱形
E037	甲蟲	v			v	正方形
E038	蛾	v			v	平行四邊形
E039	螞蟻	v	v		v	矩形
E040	螃蟹	v			v	矩形
E041	魚	v			v	矩形
E042	貝殼與海星	v			v	五角形
E043	花與葉	v			v	菱形
E044	鳥	v	v		v	正三角形
E045	惡魔與天使	v			v	正方形
E046	魚	v	v		v	矩形
E047	兩隻鳥	v			v	平行四邊形
E048	鳥與魚	v			v	平行四邊形
E049	兩隻魚	v			v	平行四邊形
E050	魚與青蛙	v			v	平行四邊形
E051	青蛙	v	v		v	矩形
E052	青蛙與鳥	v			v	平行四邊形
E053	兩個小丑	v	v		v	菱形
E054	天生一對	v	v		v	正三角形
E055	美妙的魚	v	v	v	v	鳶形
E056	蜥蜴	v	v		v	鳶形
E057	魚	v			v	正三角形
E058	兩隻魚	v			v	等腰三角形
E059	兩隻魚	v			v	正方形
E060	兩個蜥蜴	v			v	矩形
E061	兩個生物	v			v	平行四邊形
E062	惡魔	v			v	矩形
E063	樂觀者悲觀者	v			v	鳶形
E064	葉	v	v		v	矩形
E065	蛾	v			v	等腰直角三角形
E066	飛獅	v			v	平行四邊形
E067	騎兵	v			v	矩形
E068	兩種爬行動物	v			v	矩形
E069	魚、鴨與蜥蜴	v			v	菱形
E070	蝴蝶	v	v	v	v	鳶形
E071	十二隻鳥	v	v		v	正三角形
E072	魚與船	v			v	矩形
E073	飛魚	v			v	平行四邊形
E074	鳥	v			v	平行四邊形
E075	蜥蜴	v			v	平行四邊形
E076	馬與鳥	v			v	平行四邊形
E077	爬行動物	v	v		v	矩形
E078	獨角獸	v			v	矩形
E079	蝴蝶	v	v		v	鳶形
E080	魚與鳥的邂逅	v			v	平行四邊形
E081	鳥、蜜蜂與蝴蝶	v			v	正方形
E082	鳥與魚	v			v	平行四邊形
E083	馬賽克鑲嵌 I	v			v	矩形
E084	魚與鳥	v			v	矩形
E085	蜥蜴、魚與蝙蝠	v			v	菱形
E086	蜘蛛	v	v		v	正方形
E087	兩隻鳥	v			v	平行四邊形
E088	海馬	v			v	梯形
E089	魚	v			v	鳶形
E090	魚	v			v	任意四邊形
E091	甲蟲	v			v	菱形
E092	兩隻鳥	v			v	矩形
E093	魚	v			v	凸四邊形
E094	魚	v	v		v	正三角形
E095	鳥	v	v		v	正三角形
E096	天鵝	v			v	鳶形
E097	牛頭犬	v			v	矩形
E098	爬行動物	v			v	等腰三角形
E099	飛魚	v	v		v	正三角形
E100	飛信	v	v		v	正三角形
E101	分裂	v			v	等腰直角三角形
E102	魟魚	v			v	矩形
E103	魚	v	v		v	菱形
E104	蜥蜴	v	v		v	正方形
E105	飛馬	v			v	正方形
E106	飛鳥	v			v	正方形
E107	魚	v	v		v	正方形
E108	鳥	v			v	平行四邊形
E109	遲遲疑疑的傢伙	v	v		v	正方形
E110	鳥與魚	v			v	平行四邊形
E111	鳥與魚	v			v	平行四邊形
E112	飛魚與船	v			v	平行四邊形
E113	魚與船	v			v	平行四邊形
E114	魚與青蛙	v			v	平行四邊形
E115	飛魚與鳥	v			v	矩形
E116	魚	v			v	凸四邊形
E117	螃蟹	v			v	矩形
E118	蜥蜴	v	v		v	等腰直角三角形
E119	魚	v	v		v	等腰直角三角形
E120	魚與鳥	v			v	矩形
E121	魚與鳥	v			v	矩形
E122	魚	v	v		v	正方形
E123	魚	v	v		v	菱形
E124	蜥蜴	v			v	任意四邊形
E125	魚	v			v	正方形
E126	鳥與魚	v			v	平行四邊形
E127	鳥	v			v	正方形
E128	鳥	v			v	正方形
E129	魚與馬	v			v	平行四邊形
E130	魚與馬	v			v	平行四邊形
E131	五邊形之花	v			v	正方形
E132	花	v			v	五邊形
E133	交錯的六邊形	v	v		v	正方形
E134	花	v			v	正方形
E135	無記錄
E136	兩個瓷磚對					無法處理
E137	小鬼	v	v	v	v	菱形

附加檔案：
File	File size
escherbook.pdf	2181 Kb

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