方極限蜥蜴
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分類:艾薛爾無限系列
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發佈於:22 十月 2014
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撰稿:蘇章瑋
引言:《方極限蜥蜴》是我們將艾薛爾的無窮蜥蜴系列,仿製他在1964年4月所作的一幅木製版畫《方極限》(Square Limit)所排列而出的作品,作品每隻蜥蜴的身體使用單一顏色―白色、橘色及黑色著色。影片中的封面圖是艾薛爾在1963年4月所創作的一幅作品《E118 蜥蜴》,如下圖一所示:
圖一 | 圖二 | 圖三 |
《E118 蜥蜴》為艾薛爾將《E035 蜥蜴》等數幅蜥蜴鑲嵌圖多次改版後完成的作品,圖二則為艾薛爾筆記中的一幅設計圖,其中使用了許多不等大小的等腰直角三角形密鋪成一正方形。將這幅設計圖與《E118 蜥蜴》中取出的三色蜥蜴結合後,就完成了圖三的《方極限蜥蜴》。讓我們一同踏入這無窮而有極限的世界吧!
一、德魯斯插圖的數學與藝術
我們可以把分裂的影片分成如下的四幕:
第一幕:
影片由不等大小的等腰直角三角形鋪滿構成數學舞台拉開序幕,而這等腰直角三角形正是其中每隻蜥蜴的數學骨架。
第二幕:
將數學舞台的一個等腰直角三角形放大,從這等腰直角三角形剪下六小塊後,依數學原理的旋轉及縮放後貼到正確的位置,即裁貼出蜥蜴。
第三幕:
將蜥蜴的外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演,表演過程依各種適當角度與大小將表演的蜥蜴們互相密合。
第四幕:
銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊,將一隻蜥蜴放到數學骨架上的正確位置後,再將其他不同大小的蜥蜴一隻一隻地放到其正確位置上,進而鋪滿數學舞台,而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿就是所謂的鑲嵌或密鋪。
1.第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢?
□ 等腰直角三角形 □ 正三角形 □ 正方形
2.第二幕裁貼的過程中,用到了哪些數學方法?
□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 □ 縮放
3.影片中有幾種顏色的蜥蜴?
□ 兩種 □ 三種 □ 四種
4.鋪滿數學舞台的蜥蜴們有哪些特色?
□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣大
二、如何從數學骨架裁貼出蜥蜴
綜合下面兩個方式即可裁貼出蜥蜴,方式如下:
甲、將等腰直角三角形剪下六個小區塊 A , B , C , D , E , F,並將這六個小區塊經由旋轉後貼到正確的位置上,即 A → a;B → b;C → c;D → d;E → e ;F → f
乙、如何貼到正確的位置呢?我們根據數學原理的縮放與旋轉:
(1)A → a:將 A 區塊以上方斜邊中點為中心旋轉到 a
(2)B → b:將 B 區塊以上方斜邊中點為中心旋轉到 b
(3)C → c:將 C 區塊以上方斜邊中點為中心旋轉到 c
(4)D → d:將 D 區塊以下方直角頂點為中心旋轉到 d
(5)E → e:將 E 區塊以下方直角頂點為中心旋轉到 e
(6)F → f:將 F 區塊以下方直角頂點為中心旋轉到 f
裁貼出蜥蜴後可以發現:等腰直角三角形的其中三個頂點分別在蜥蜴的頭與尾巴、手肘。而左上圖的A → a與F → f的形狀是相似的,其裁貼旋轉的角度由180度改為90度,而B → b與E → e、C → c與D → d也是如此。更甚,如右上圖將蜥蜴骨架三頂點與斜邊的中點劃分為四份後,將發現將發現這四份的線條是完全相似的。如此一來,我們將發現右上圖所劃分的四份,其實是同一份的伸縮、旋轉、翻面所造成的。這就是蜥蜴在數學骨架上的正確位置。
三、真的是蜥蜴磁磚嗎
由藝術表演可以知道經過數學原理形成的蜥蜴可以互相密合,其密合方式要分為兩類,我們看看下面:
(1)同樣大小的的蜥蜴之間密合
(2)不等大小蜥蜴之間的密合
以這兩種密合方式,就可以將蜥蜴磁磚密鋪在平面上了。
四、方極限蜥蜴的鑲嵌圖
透過了解蜥蜴在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後,即可在數學骨架上密鋪出方極限蜥蜴鑲嵌圖,左下圖是先將一隻大蜥蜴放在數學骨架上的正確位置,其他的蜥蜴除了要放在數學骨架上的正確位置外,還須一一縮放、旋轉與翻面後按照密合方式密鋪。
方極限蜥蜴回饋單
1.請你回想一下,每一隻蜥蜴周遭圍繞著幾隻蜥蜴呢?
□ 3隻 □ 4隻 □ 5隻
2.一隻蜥蜴的表面積與其數學骨架等腰直角三角形的面積是否一樣呢?
□ 是 □ 否 □ 不一定
3.仔細觀察下圖,要將上方的黑蜥蜴移動到下方紅蜥蜴的位置,還需要進行那些動作?
□ 旋轉 □ 放大 □ 縮小 □ 翻面
4.仔細觀察下圖,有8隻蜥蜴接觸在同一個接點上,這裡面有幾種不同大小的蜥蜴呢?
□ 1種 □ 2種 □ 3種 □ 4種 □ 5種
5.仔細觀察下圖。若最上面的大黑蜥蜴的表面積為1,請問下圖所有的蜥蜴的表面積為多少?
□ □ 4 □ 6 □ 8 □ 11
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